专题4------实对称矩阵的对角化,常州会议会务费如何开具发票问题减免征个人所得税知识点！,{ Ⅴ Ⅹ } 【 ☆ Ｋ Ｆ Ｐ ☆ １ ６ ０ ０ ☆ 】 ★ ★ ★ 酒 店 餐 饮 票 , 饭 庄 餐 饮 票 , 食 堂 餐 饮 票 , 餐 馆 餐 饮 票 , 大 饭 店 餐 饮 票 , 机 打 餐 饮 票 , 定 额 手 撕 餐 饮 票 , 电 子 版 餐 饮 票 , 可 打 餐 饮 菜 单 , 提 供 付 / 款 / 证 / 明 ！ 专题：实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的定义：如果矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png满足：①7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是对称矩阵，即9f73bc69f33c1507a31e5a462a003683.png；②矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如3de90564c61daf602b582735803fed9c.png，b593070d4214e5cfb1365a41f0d8d9ba.png就是虚数）组成复数集）。那么，称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png就是实对称矩阵。注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。二、实对称矩阵的性质：1实对称矩阵必可对角化。（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372页说的很清楚）2特征值全是实数，特征向量都是实向量。（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质提出来的）3不同特征值的特征向量相互正交。（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。注意向量正交的定义：设1c44e38d0349f6c9ed3313d4de3ec29e.png 为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png 维列向量，d3a2054b9617103ce03674e941639a15.png）4假设73e7ee179499d04463bfae107069849e.png是实对称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png重特征值，那么对应于特征值73e7ee179499d04463bfae107069849e.png必有8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组133ceb194480ede35c200ecb4e1fd726.png的基础解系的向量个数为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，e69783f910a6e706fbd75515224556af.png。（对于一般矩阵，若73e7ee179499d04463bfae107069849e.png是该矩阵（非实对称矩阵）的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png重特征值，那么对应于特征值73e7ee179499d04463bfae107069849e.png的线性无关向量最多为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个，即齐次线性方程组133ceb194480ede35c200ecb4e1fd726.png（这里的7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个，即df3e0a85b65c460163691c2085241b89.png）三、基本情况说明：考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为4阶矩阵，其特征值为6f97853c1f54f505b0d38842afa6ca86.png、2421dc2156eb10dba79bacc24f2de3f4.png、c858a8e5389e268a80911cc68dfe888c.png（c858a8e5389e268a80911cc68dfe888c.png为二重特征值）。特征值6f97853c1f54f505b0d38842afa6ca86.png对应的特征向量为8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，即ce86ac041ea20e36c6cef5e2a3611df8.png，明显18631fb763887caea48dd7ab6e758ddd.png（c3e25e3d65b2de8fa7103b41277a942a.png）也为6f97853c1f54f505b0d38842afa6ca86.png对应的特征向量；特征值2421dc2156eb10dba79bacc24f2de3f4.png对应的特征向量为0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，即d055718cc4403349cf0e9c0970db3741.png，明显43649921bf9b6058e8bd7ab5412a3dc7.png（20f6a5e3ad1f212393d1bbf73cefee01.png）也为2421dc2156eb10dba79bacc24f2de3f4.png对应的特征向量；特征值c858a8e5389e268a80911cc68dfe888c.png对应的两个线性无关的特征向量为a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png、3245e1e5ae22ab11774bb424bcc68e53.png（因为c858a8e5389e268a80911cc68dfe888c.png为二重特征值，所以它必有2个线性无关的特征向量），明显a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png、3245e1e5ae22ab11774bb424bcc68e53.png的线性组合a72d9e10eb7e4ec14dd349aa174efa4b.png（27b905d7102b81e8e129d63016acd6ff.png不全为0）也是特征值c858a8e5389e268a80911cc68dfe888c.png对应的特征向量。根据实对称矩阵性质的第二点，这些特征向量之间的关系满足：41af40f013fe1cdee9c07661fe1cbad8.png（c3e25e3d65b2de8fa7103b41277a942a.png、20f6a5e3ad1f212393d1bbf73cefee01.png、27b905d7102b81e8e129d63016acd6ff.png不全为0）注意a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png、3245e1e5ae22ab11774bb424bcc68e53.png一定线性无关，但是不一定正交，那么a6909eaf4b7646c81ac6f9c882d172ce.png（27b905d7102b81e8e129d63016acd6ff.png都不为0）的值不一定为0。上面2b250c8ed449dc3874e79be4ffd87775.png、a5ecde7024e1853c28c27091bd8d16b9.png、f2f3d410ae03a8a8f4ae72c67fc9c276.png、a6909eaf4b7646c81ac6f9c882d172ce.png都表示内积。四、实对称矩阵的对角化全书P372的矩阵相似对角化的方法适合所有矩阵，那么根据该方法，我们构造矩阵44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，令e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png，（3b18bd697b6d8ffe0b28fd24e1f9b861.png都不为0，30cc5a4f330a963393ee0f15677d3835.png不全为0，27b905d7102b81e8e129d63016acd6ff.png不全为0，向量20b6d0e8eff1bbc75981da3961ce5e04.png与向量a72d9e10eb7e4ec14dd349aa174efa4b.png线性无关，即bfa1ae1a39b65c32f61fe3444896a1fb.png），那么一定有9a24d79f37d59f00c5d4a891df56d9d8.png（向量20b6d0e8eff1bbc75981da3961ce5e04.png和向量a72d9e10eb7e4ec14dd349aa174efa4b.png线性无关的充要条件是bfa1ae1a39b65c32f61fe3444896a1fb.png，8a32a49910e9934cd4953924fb4373b4.png8a4d6cdde4f07ee570fb915d72fb1b50.png，由于0971dba184957d225306455485b15128.png，所以a75d3e2e0526ba7f939b8be151d628df.png必然满秩，bfa1ae1a39b65c32f61fe3444896a1fb.png）为什么我把矩阵44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png构造成e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png这种形式，而不是像全书上构造成简单的7c0a1634ba6bc8d3e0a59ab413a8282e.png。我先说明这种构造的合理性。把矩阵44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png构造成e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png这种形式的合理性说明：由上面的第三点——基本情况说明里面的论述，可以知道：15d32d8bf040169b7a727c956f50a861.png（3b18bd697b6d8ffe0b28fd24e1f9b861.png都不为0，30cc5a4f330a963393ee0f15677d3835.png不全为0，27b905d7102b81e8e129d63016acd6ff.png不全为0）这四个向量必然分别是特征值a029e37b1103c9777ef71b3e366e04a8.png对应的特征向量，如果向量20b6d0e8eff1bbc75981da3961ce5e04.png和向量a72d9e10eb7e4ec14dd349aa174efa4b.png线性无关，那么44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png可逆，且0d39e13633521c4dc24999af1fec0893.png。注意到7c0a1634ba6bc8d3e0a59ab413a8282e.png是e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png的一种特殊情况。五、施密特正交化方法的意义说明考研数三对Schmidt正交化方法的考察，最多涉及三个向量，因此，我在这里只说明3个向量的Schmidt正交化。8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png线性无关令63cb30145014275f8ea533e1d31f1112.png，ac293745a3f2e0c097d06e3b0f690791.png，36cc26d0a91a53c6670476efaa952a61.png。其实不需要严格的证明，通过观察，我们就会发现d33ecff5e74e7414b20e170b1fb4af99.png，1ce4f0a22df60b47d002022718895aaa.png，1bec341f9be0c74e8b7c260c10e28763.png都是8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png的线性组合。注意正交化后的d33ecff5e74e7414b20e170b1fb4af99.png，1ce4f0a22df60b47d002022718895aaa.png，1bec341f9be0c74e8b7c260c10e28763.png是两两正交的。假设8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png都是实对称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的关于某一个特征值的73e7ee179499d04463bfae107069849e.png的三个线性无关的特征向量，因为d33ecff5e74e7414b20e170b1fb4af99.png，1ce4f0a22df60b47d002022718895aaa.png，1bec341f9be0c74e8b7c260c10e28763.png都是8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png的线性组合，那么d33ecff5e74e7414b20e170b1fb4af99.png，1ce4f0a22df60b47d002022718895aaa.png，1bec341f9be0c74e8b7c260c10e28763.png也是实对称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的关于同一个特征值的73e7ee179499d04463bfae107069849e.png的三个线性无关的特征向量。六、把矩阵44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png构造成e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png这种形式的意义说明矩阵e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png（3b18bd697b6d8ffe0b28fd24e1f9b861.png都不为0，30cc5a4f330a963393ee0f15677d3835.png不全为0，27b905d7102b81e8e129d63016acd6ff.png不全为0，向量20b6d0e8eff1bbc75981da3961ce5e04.png与向量a72d9e10eb7e4ec14dd349aa174efa4b.png线性无关，即bfa1ae1a39b65c32f61fe3444896a1fb.png）包含了所有情况。在矩阵e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png中令27800e6986542c252db96494cc6b8a6f.png，a4b5ac63130e1b94903f46cf5e7428b9.png，751e8306451dea6d7d32af928c94fa4d.png，6ed67d3388d03074d61cdb8389d12525.png，e0f0158734e8a6fac5636190d692ee85.png，1e542c476317f446d2108d96a5dca852.png那么得到的矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png是矩阵e9626f727fe9e78e7624bc52c3758234.png的一种特殊情况：778906714feb6f38ff66cfa581a906fb.png注意，在这里对16d10773c9d1602612b23c7a265f8097.png运用了Schmidt正交规范化方法，所以此时的矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png就是一个正交矩阵，即53aa0fd29eb8e21fd04ddbecb42b8350.png，5bff06c9242c35595eb0d0dfcef187cb.png（矩阵的每一个列向量都是单位向量，且列向量两两正交，无需证明，行向量也满足都是单位向量，且两两正交）。由于矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png满足e2127e208041cd450e22248e98caa857.png，而5bff06c9242c35595eb0d0dfcef187cb.png，那么由e2127e208041cd450e22248e98caa857.png可得：1b41676da120bc5b5f5a15e23ca84037.png七、化二次型为标准型的问题的等价问题对于二次型（n元二次方程）848a19df54cbdac13415d1eb4c89cd01.png，其中7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为实对称矩阵，我们的目的是要通过坐标变换（即找到一个可逆矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，令38e58b5c7f6522b7ee3ccef8e587e049.png，注意这里对f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png的表述仅仅是可逆矩阵，没有说找一个正交矩阵——当然正交矩阵也是可逆矩阵，因为我们在这里的目的仅仅是作坐标变换，作坐标变换的矩阵必须是可逆矩阵），把二次型848a19df54cbdac13415d1eb4c89cd01.png化为标准型9ac8c644bc1de1f81994233af54a08ac.png（f8bbcdbfb4ebd6d935dc0120cba91cc4.png为n个实数）这个问题等价的表述就是：对于实对称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png,找到一个可逆矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，使得57d6acdf3ebc3f5a08ea6ea2000b0915.png。注意，这里的f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png不是唯一的，这里的f8bbcdbfb4ebd6d935dc0120cba91cc4.png随着f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png的不同而取不同的值，特别的，如果这里的f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png选择的是上面第六点中的778906714feb6f38ff66cfa581a906fb.png，那么这里的f8bbcdbfb4ebd6d935dc0120cba91cc4.png依次取对应的806688256277d6f39fcbcd11ad4dec9f.png。八、化二次型848a19df54cbdac13415d1eb4c89cd01.png为标准型具体步骤：（1）根据15f18d57cee92ce514fd65d20b01ea0e.png求出7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶实对称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的所有特征值73e7ee179499d04463bfae107069849e.png（2）通过解齐次线性方程组133ceb194480ede35c200ecb4e1fd726.png求出每一个特征值所对应的特征向量d8dd7d0f3eb7145ca41c711457b7eb8f.png（3）把一重特征值对应的特征向量单位化，把8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png重（5d560d8240fbb364a526e5d79eb3f406.png）特征值对应的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个特征向量规范正交化，得到7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个两两正交的单位向量bedcf2f74ea8e1f0f46880c0c79592ff.png（4）构造矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，令2d2a8fcd5611643c567d6dc0ddd94c04.png。明显f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png是正交矩阵，即53aa0fd29eb8e21fd04ddbecb42b8350.png，5bff06c9242c35595eb0d0dfcef187cb.png（5）作坐标变换，令03be54d959339477e35e8e5aab278d36.png，那么71cb62307a7d5ec741c071beef7c8a42.png其中，806688256277d6f39fcbcd11ad4dec9f.png为对应的n个特征值。化小为大,化实为虚(教师版)
化小为大、化实为虚 ——具体概念类作文的主体段的展开 从概念表达的内容上看，主要分为具体概念、抽象概念。 一、【典型例题】 2017全国1卷。 在12个关键词中”一带一路、中华美食、空气污染、美丽乡村、食品安全、移动支付”为抽象概念；“大熊猫、广场舞、长城、共享单车、京剧、高铁”为具体概念。 对具体概念，直接而又具体地写，就会流于呆板，过于平面化，甚至面对一些熟悉普通的概念，有时让人觉得词穷，难以下手。面对一个具体概念，该如何下手？ 如写共享单车，请比对以下两个例子： 学生习作（主体段）例1： 共享单车发端
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